Question

如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的

AB

上，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，PH⊥OA，垂足為H，△OPH的重心為G．
（1）設(shè)PH=x，S_△PGH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）△PGH的面積是否有最大值？如果有，求出最大面積，并求出此時(shí)PH的長度；如果沒有，請(qǐng)說明理由；
（3）如果△PGH為等腰三角形，試求出線段PH的長．

Answer 1

分析：（1）本題的關(guān)鍵是要掌握三角形重心的概念，三角形重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1；結(jié)合等高三角形的面積比等于底邊的比，可得出S_△PGH=

2

3

S_△POH=

1

3

S_△POH，因此只需求出三角形POH的面積即可．
（2）根據(jù)（1）得出的函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值．
（3）本題要分三種情況：
①PG=GH，此時(shí)PD=HE，三角形PDO和OEH全等，OP=OH，此時(shí)P、H、A重合，因此PH=0，顯然不合題意．
②PG=PH，PG=PH=x，PD=

2

3

x，可在直角三角形PHD中，用勾股定理求出x的值．
③PH=GH，由于HE是直角三角形斜邊上的中線，因此HE=

1

2

OP=3，因此HG=PH=2．

解答：解：（1）延長PG交OH于點(diǎn)D，
∵PG：GD=2：1，
∴S_△PGH=

2

3

S_△POH=

1

3

S_△POH
由勾股定理得OH=

OP2-PH2

=

36-x2

∴y=

1

3

×

1

2

PH•OH=

1

6

x

36-x2

（0＜x＜6）；

（2）∵y²=

1

36

x²（36-x²）（0＜x＜6），
令t=x²，則y²=

1

36

t（36-t）=-

1

36

t²+t（0＜t＜36），是關(guān)于t的二次函數(shù)，
當(dāng)t=18時(shí)，y²取最小值為9，
此時(shí)y=3，x=3

2

，即當(dāng)PH=3

2

時(shí)，△PGH有大面積3；

（3）延長HG交OP于點(diǎn)E，則HE=

1

2

OP=3，
∴HG=

2

3

HE=2，
又∵DH=

1

2

OH=

1

2

36-x2

，
∴DP=

DH2+PH2

=

1 4 (36-x2)2+x2

=

1

2

36+3x2

，
∴PH=

2

3

DP=

1

3

36+3x2

（0＜x＜6），△PGH為等腰三角形，有三種可能情況：
1、GP=PH，即

1

3

36+3x2

=x解得x=

6

；
2、GP=GH，即

1

3

36+3x2

=2解得x=0，不合；
3、PH=GH，即x=2
綜上，若PH為2或

6

時(shí)，△PGH為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形、圓和二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，（1）題弄清三角形重心的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要分類求解．