Question

【題目】（1）操作：如圖，在已知內角度數的三個三角形中，請用直尺從某一頂點畫一條線段，把原三角形分割成兩個等腰三角形，并在圖中標注相應的角的度數

（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，請把△ABC分割成三個等腰三角形，并在圖中標注相應的角的度數.

（3）思考在如圖所示的三角形中∠A=30°.點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點.分別連接BP和PQ把△ABC分割成三個三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的這三個三角形都是等腰三角形，求∠C的度數所有可能值直接寫出答案即可.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠C所有可能的值為10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.

【解析】

（1）在圖1、圖2、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，根據垂直平分線的性質及外角的性質求出各角度數即可；（2）分別作AB、BC的垂直平分線，交于點O，連接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC為等腰三角形，根據等腰三角形的性質及外角性質求出各角度數即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP時，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10種情況，根據等腰三角形的性質分別求出∠C的度數即可.

（1）在圖1、圖2、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，

如圖1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，

∴∠C=90°-23°=67°，

∵MN垂直平分AB，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形，

∴∠BAD=∠ABC=23°，

∴∠ADC=2∠ABC=46°，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，

∴∠DAC=∠C，

∴△DAC是等腰三角形，

同理：圖2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，

圖3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.

（2）作AB、BC的垂直平分線，交于點O，連接OA、OB、OC，

∵點O是三角形垂直平分線的交點，

∴OA=OB=OC，

∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，

∵AB=AC，∠BAC=45°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴AD是BC的垂直平分線，

∴∠BAD=∠CAD=22.5°，

∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，

∴∠OBC=∠OCB=45°.

（3）①如圖，當PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ時，

∵∠A=30°，PB=PQ，

∴∠ABP=∠A=30°，

∴∠APB=120°，

∵PB=PQ，PQ=CQ，

∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，

∴∠PBQ=2∠C，

∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，

解得：∠C=40°.

②如圖，當PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ時，

∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，

∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，

∴180°-4∠C+∠C=120°，

解得：∠C=20°，

③如圖，當PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP時，

∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=（180°-∠C），

∴∠PBQ=（180°-∠C），

∴（180°-∠C）+∠C=120°，

解得：∠C=100°.

④如圖，當PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP時，

∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,

又∵∠C+∠PBQ=120°，

∴∠C=80°；

⑤如圖，當AB=AP，BP=BQ，PQ=QC時，

∵∠A=30°，

∴∠APB=（180°-30°）=75°，

∵BP=BQ，PQ=CQ，

∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，

∴∠BQP=2∠C，

∴∠PBQ=180°-4∠C，

∴∠C+180°-4∠C=75°，

解得：∠C=35°.

⑥如圖，當AB=AP，BQ=PQ，PC=QC時，

∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=（180°-∠C），

∴∠PBC=（180°-∠C），

∴（180°-∠C）+∠C=75°，

解得：∠C=40°.

⑦如圖，當AB=AP，BQ=PQ，PC=QP時，

∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，

∴∠C=50°；

⑧當AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ時，

∵AB=BP，∠A=30°，

∴∠ABP=∠APB=75°，

又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，

且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，

∴3∠C=75°，

∴∠C=25°；

⑨當AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ時，

∵AB=BP，

∴∠BPA=∠A=30°，

∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，

∴2∠C+∠C=30°，

解得：∠C=10°.

⑩當AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ時，

∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，

∴∠C+∠C=30°，

解得：∠C=20°.

綜上所述：∠C所有可能的值為10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.