Question

【題目】△ACB和△ECD均為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°.

（1）如圖1，點E在BC上，則線段AE和BD有怎樣的關系？請直接寫出結論（不需證明）；

（2）若將△DCE繞點C旋轉一定的角度得圖2，則（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；

（3）當△DCE旋轉到使∠ADC=90°時，若AC=5，CD=3，求BE的長.

Answer 1

【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD ；（2）見解析；（3）

【解析】分析：（1）延長AE交BD于F,由△AEC≌△BDC,可得AE=BD,再利用同角的余角相等，可得出AE⊥BD ；（2）不發生變化，只要證明△AEC≌△BDC，推出AE=BD，∠EAC=∠DBC,由∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG,可得∠BGF=90°，從而得證；（3）過B作BM⊥EC于M，則∠M=90°，在RT△ACD中利用勾股定理可得AD=4,再利用△BCM≌△ACD，得出CM=CD=3, BM=AD=4，在△BME中利用勾股定理即可求出結果.

本題解析：

(1)AE=BD，AE⊥BD ；

(2)(1)中的結論仍然成立，理由如下：

∵△ACB和△ECD均為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°

∴AC=BC, ∠ACE=∠BCD，EC=DC

∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD, ∠EAC=∠DBC

∵∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG

∴∠DBC+∠BFG=90°, ∴∠BGF=90°,

∴AE⊥BD

(3) 過B作BM⊥EC于M，則∠M=90°

∵∠ADC=90°，AC=5，CD=3，∴AD=

∵∠ACB=∠ECD=90°, ∴∠CBE+∠ACD=180°

∵∠CBE+∠BCM=180°, ∴∠BCM=∠ACD

∵∠M=∠ADC=90°, AC=BC

∴△BCM≌△ACD(AAS), ∴CM=CD=3, BM=AD=4

∵CE=CD=3，∴EM=6，

∴BE=