Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，P點在BC上，從B點到C點運動（不包括 C點），點 P運動的速度為1cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為2cm/s，若點 P、Q 分別從B、C 同時運動，且運動時間記為t秒，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．

（1）當 t 為何值時，P、Q 兩點的距離為 4cm？

（2）請用配方法說明，點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

【答案】(1) 2或;(2) 3秒，15cm2．

【解析】

（1）根據勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出經過2或s后，P、Q兩點的距離為4cm；（2）根據三角形的面積公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函數最值便可求出t=1.75s時△PCQ的面積最大，進而求出四邊形BPQA的面積最小值．

：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
設經過ts后，P、Q兩點的距離為4cm，
ts后，PC=6-t cm，CQ=2t cm，
根據勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入數據（6-t）2+（2t）2=（4）2；
解得t=2或t=，
故t為2或時，P、Q兩點的距離為4cm；

（2）設經過ts后，△PCQ的面積最大，則此時四邊形BPQA的面積最小，
ts后，PC=6-tcm，CQ=2t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t
當t=-時，即t=3s時，△PCQ的面積最大，
即S△PCQ=

×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2），
∴四邊形BPQA的面積最小值為：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2），
當點P運動3秒時，四邊形BPQA的面積最小為：15cm2．