Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣4，0）兩點，

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設此拋物線與直線y=﹣x在第二象限交于點D，平行于y軸的直線 與拋物線交于點M，與直線y=﹣x交于點N，連接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四邊形BNCM的面積S最大？若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣4，0）兩點，

將A、B兩點坐標代入拋物線方程，得到：

解得：

所以，該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4

（2）

解：存在．

∵由前面的計算可以得到，C（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x=﹣1.5，

∴由拋物線的對稱性，點A、B關于直線x=1對稱，

∴當QC+QA最小時，△QAC的周長就最小，

而當點Q在直線BC上時QC+QA最小，

此時直線BC的解析式為y=x+4，

當x=﹣1.5時，y=2.5，

∴在該拋物線的對稱軸上存在點Q（﹣1.5，2.5），使得△QAC的周長最小

（3）

解：由題意，M（m，﹣m2﹣3m+4），N（m，﹣m）

∴線段MN=﹣m2﹣3m+4﹣（﹣m）=﹣m2﹣2m+4=﹣（m+1）2+5

∵S四邊形BNCM=S△BMN+S△CMN=0.5MN×BO=2MN=﹣2（m+1）2+10

∴當m=﹣1時（在 內），四邊形BNCM的面積S最大．

【解析】（1）A，B的坐標代入拋物線y=﹣x2+bx+c確定解析式．（2）A，B關于對稱軸對稱，BC與對稱軸的交點就是點Q．（3）四邊形BNCM的面積等于△MNB面積+△MNC的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．