Question

【題目】在中，，，，于點H，點D在AH上，且，連接BD．

如圖1，將繞點H旋轉，得到點B、D分別與點E、F對應，連接AE，當點F落在AC上時不與C重合，求AE的長；

如圖2，是由繞點H逆時針旋轉得到的，射線CF與AE相交于點G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)(I)AE=;(II).

【解析】

（1）先根據tanC＝3，求出AH＝3，CH＝1，然后根據△EHA∽△FHC，得到，HP＝3AP，AE＝2AP，最后用勾股定理即可；

（2）先判斷出△AGQ∽△CHQ，得到，然后判斷出△AQC∽△GQH，用相似比即可．

(1)如圖，

在Rt△AHC中，

∵tanC＝3，

∴＝3，

設CH＝x，

∴BH＝AH＝3x，

∵BC＝4，

∴3x+x＝4，

∴x＝1，

∴AH＝3，CH＝1，

由旋轉知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH，

∴∠EHF+∠AHF＝∠AHC+∠AHF，

∴∠EHA＝∠FHC，=1，

∴△EHA∽△FHC，

∴∠EAH＝∠C，

∴tan∠EAH＝tanC＝3，

過點H作HP⊥AE，

∴HP＝3AP，AE＝2AP，

在Rt△AHP中，AP2+HP2＝AH2，

∴AP2+(3AP)2＝9，

∴AP＝，

∴AE＝；

(2)如圖1，

∵△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉30°得到，

∴HD＝HF，∠AHF＝30°

∴∠CHF＝90°+30°＝120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，

∴∠GAH＝∠HCG＝30°，

∴CG⊥AE，

∴點C，H，G，A四點共圓，

∴∠CGH＝∠CAH，

設CG與AH交于點Q，

∵∠AQC＝∠GQH，

∴△AQC∽△GQH，

∴，

∵△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉30°得到，

∴EF＝BD，

由(1)知，BD＝AC，

∴EF＝AC

∴＝2，

即：EF＝2HG，