Question

【題目】如圖，AC是正方形ABCD的對角線，點O是AC的中點，點Q是AB上一點，連接CQ，DP⊥CQ于點E，交BC于點P，連接OP，OQ；

求證：(1)△BCQ≌△CDP；(2)OP=OQ.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和DP⊥CQ于點E可以得到證明△BCQ≌△CDP的全等條件；

(2)根據(jù)(1)得到BQ=PC，然后連接OB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到證明△BOQ≌△COP的全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)就可以解決題目的問題．

證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，

∴∠2+∠3=90°，

又∵DP⊥CQ，

∴∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠3，

在△BCQ和△CDP中，

∴△BCQ≌△CDP；

(2)連接OB，

由(1)△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

∵點O是AC中點，

∴BO=AC=CO，∠4=∠ABC=45°=∠PCO，

在△BOQ和△COP中，

∴△BOQ≌△COP，

∴OQ=OP.