Question

【題目】平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系.

(1)如圖1，若，點在、內部， ， ,求的度數.

(2)如圖2，在AB∥CD的前提下，將點移到、外部，則、、之間有何數量關系？請證明你的結論.

(3)如圖3，寫出、、、之間的數量關系？(不需證明)

(4)如圖4，求出的度數.

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）∠B=∠D+∠BPD，證明見解析；（3）∠BPD=∠B+∠D+BQD；；（4）360°．

【解析】

（1）過P作平行于AB的直線，根據內錯角相等可得出三個角的關系，然后將∠B=50°，∠D=30°代入，即可求∠BPD的度數；

（2）先由平行線的性質得到∠B=∠BOD，然后根據∠BOD是三角形OPD的一個外角，由此可得出三個角的關系；

（3）延長BP交QD于M，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解答；

（4）根據三角形外角性質得出∠CMN=∠A+∠E，∠DNB=∠B+∠F，代入∠C+∠D+CMN+∠DNM=360°即可求出答案．

（1）如圖1，過P點作PO∥AB，

∵AB∥CD，∴CD∥PO∥AB，

∴∠BPO=∠B，∠OPD=∠D，

∵∠BPD=∠BPO+∠OPD，

∴∠BPD=∠B+∠D．

∵∠B=50°，∠D=30°，

∴∠BPD=∠B+∠D=50°+30°=80°；

（2）∠B=∠D+∠BPD，

∵AB∥CD，

∴∠B=∠BOD，

∵∠BOD=∠D+∠BPD，

∴∠B=∠D+∠BPD；

（3）如圖：延長BP交QD于M

在△QBM中：∠BMD=∠BQD+∠QBM

在△PMD中：∠BPD=∠BMD+∠D=∠BQD+∠QBM+∠D

故答案為：∠BPD=∠B+∠D+BQD

∴、、、之間的數量關系為：∠BPD=∠B+∠D+BQD

（4）如圖

∵∠CMN=∠A+∠E，∠DNB=∠B+∠F，

又∵∠C+∠D+∠CMN+∠DNM=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．