Question

【題目】已知方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0有兩個實數根x1 ， x2 ．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若x12+x22=4，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意得△=（2k）2﹣4（k2﹣2k+1）=8k﹣4≥0，

解得k≥ ；

（2）解：根據題意得x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1，

∵x12+x22=4，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=4

∴4k2﹣2（k2﹣2k+1）=4，

整理得k2+2k﹣3=0，解得k1=﹣3，k2=1，

而k≥

∴k=1．

【解析】（1）根據判別式的意義得到△=（2k）2﹣4（k2﹣2k+1）=8k﹣4≥0，然后解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1，再利用完全平方公式由x12+x22=4得到（x1+x2）2﹣2x1x2=4，則4k2﹣2（k2﹣2k+1）=4，然后解關于k的方程，最后利用k的范圍可確定滿足條件的k的值．
【考點精析】關于本題考查的求根公式和根與系數的關系，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能得出正確答案．