Question

【題目】小明在學了三角形的角平分線后，遇到下列4個問題，請你幫他解決．如圖，在△ABC中，∠BAC= 50°，點I是∠ABC、∠ACB平分線的交點．

問題(1)：填空：∠BIC＝_________°．

問題(2)：若點D是兩條外角平分線的交點，則∠BDC＝_________°．

問題(3)：若點E是內角∠ABC、外角∠ACG的平分線的交點，則∠BEC與∠BAC的數量關系是________；

問題(4)：在問題（3）的條件下，當∠ACB等于__________°時，CE∥AB．

Answer 1

【答案】 115 65 ∠BEC∠BAC，或∠BAC=2∠BEC 80

【解析】分析：(1)、根據角平分線的性質以及三角形內角和定理得出答案；(2)、根據三角形外角的性質以及三角形內角和定理得出各角之間的關系，從而得出答案；(3)、根據三角形的內角和定理得出答案；(4)、根據平行線的性質得出∠ACE=∠A=50°，然后根據角平分線的性質得出∠ACG=2∠ACE=100°，然后根據三角形內角和定理得出答案．

詳解：（1）∵點I是兩角B、C平分線的交點，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）
=90+∠BAC=115°；
（2）∵BE、BD分別為∠ABC的內角、外角平分線， ∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四邊形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-∠BAC=65°；
（3）∠BEC=∠BAC．
證明：在△BDE中，∠DBI=90°，∴∠BEC=90°-∠BDC=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC；
（4）當∠ACB等于80°時，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，∴∠ACE=∠A=50°，∵CE是∠ACG的平分線，∴∠ACG=2∠ACE=100°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°．