Question

【題目】如圖，已知正三角形ABC的邊長AB是480毫米．一質點D從點B出發，沿BA方向，以每秒鐘10毫米的速度向點A運動．

（1）建立合適的直角坐標系，用運動時間t（秒）表示點D的坐標；

（2）過點D在三角形ABC的內部作一個矩形DEFG，其中EF在BC邊上，G在AC邊上．在圖中找出點D，使矩形DEFG是正方形（要求所表達的方式能體現出找點D的過程）；

（3）過點D、B、C作平行四邊形，當t為何值時，由點C、B、D、F組成的平行四邊形的面積等于三角形ADC的面積，并求此時點F的坐標．

Answer 1

【答案】(1);(2) 當點D與點B的距離等于10t=960（2﹣）毫米時，矩形是正方形;(3) F（560，80），F′（400，﹣80）,F″（﹣400，80）

【解析】

運用相似三角形及平行四邊形的性質求解．

（1）建立如圖所示的直角坐標系，作DE⊥x軸于E，

則t秒后，DB=10t

又△ABC是正三角形，故∠B=60°

在Rt△DEB中，DE=DB×sin∠B=10t×=5t，

BE=DB×cos∠B=10t×=5t

即：D(5t,5)；

（2）①先畫一個正方形，再利用位似圖形找出點D，具體作法閱圖

②利用正三角形與矩形是軸對稱圖形或利用相似三角形的性質求得DG=480﹣10t，DE=5t．然后由480﹣10t=5t,

求出t==96（2﹣）（毫米）．所以當點D與點B的距離等于10t=960（2﹣）毫米時，矩形是正方形．

（3）如圖所示：

當點F在第一象限時，這個平行四邊形是CBDF；

當點F在第二象限時，這個平行四邊形是BCDF“；

當點F在第三象限時，這個平行四邊形是CDBF'．

但平行四邊形BCDF“的面積、平行四邊形CDBF'的面積

都與平行四邊形CBDF的面積相等（等底等高）

平行四邊形CBDF的底BC=480，相應的高是5，則面積是2400；三角形ADC的底AD=480﹣10t，相應的高是240

則面積是120（480﹣10t）．

由2400 =120（480﹣10t），解得t=16

所以當t=16秒時，由點C、B、D、F組成的平

行四邊形的面積等于三角形ADC的面積．

∴此時，點F的坐標是F（560，80），F′（400，﹣80）,F″（﹣400，80）．