Question

【題目】如圖①矩形ABCD在坐標系中的位置如圖所示，OB＝3OA＝3，BC＝5，將線段BC繞點B旋轉，使點C落在y軸負半軸上的點E處，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點．

（1）求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式；

（2）點P是拋物線上一動點，F是直線BE上一動點．

①如圖②，若OF⊥BE，直線PQ∥OF交直線BE于點Q，若以P、Q、F、O為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；

②若直線OF與直線BE的夾角等于∠BEO的2倍，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①符合條件的點P的橫坐標是，；②符合條件的點F的坐標是(,-2)，（，）.

【解析】

(1)先求出OE的長，然后可得點A、B、E的坐標，代入可得拋物線的解析式；

(2)①如圖，過點P作直線MN⊥軸于點M.交直線BE于點N,先求出BE的解析式，然后再求出△PNQ≌△OFE,分別計算出點P在x軸的上方和點P在x軸的下方的橫坐標值即可解答

②如圖，作OE的垂直平分線交BE于點,作OH⊥BE于點，在線BE上作關于點H的對稱點，求出即可求出 的坐標；作軸于點S,通過解直角三角形 ,即可求出的坐標即可解答.

(1) 由題意知，OA=1,OB=3,BC=BE=5,

∵∠BOE=90,∴OE=,

∴A(-1,0),B(3,0),E(0,-4),

∴，解之得，

∴拋物線的解析式為；

（2）①過點P作直線MN⊥軸于點M.交直線BE于點N,

∵直線BE經過點B(3,0),E(0,-4)，

用待定系數法可求直線BE的解析式為

∵PQ∥OF,OF⊥BE,∴PQ⊥BE,

∵四邊形PQFO為平行四邊形，∴PQ=FO=

∵MN∥OE,∴∠OEF=∠PNQ,∴△PNQ≌△OFE,

∴PN=OE=4,

設點P的坐標為（，），則點Q的坐標是（，），

∴ 當點P在軸的下方，PN=NM-PM=4 ,

即 ，

解之得，，（舍去），

∴，

當點P在軸的上方，同理可得，

∴符合條件的點P的橫坐標是，；

②作OE的垂直平分線交BE于點,作OH⊥BE于點，在線BE上作關于點H的對稱點,則,

∵，,∴,

∴,∴(,-2);

設點的坐標是（，），作軸于點S,

則OS=，，∴ES=，

而=

∵,∴

，（，）

綜上所述，符合條件的點F的坐標是(,-2)，（，）.