Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，F是弦AD的中點，連結OF并延長OF交⊙O于點E，連結BE交AD于點G，延長AD至點C，使得GC＝BC，連結BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線．

（2）⊙O的半徑為10，sinA＝，求EG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

(1)連結OD，求出∠ABE+∠GBC=90°，根據切線的判定得出即可；
(2)解直角三角形求出AF、OF，證明，求出BC和AC，進而求出EF、FG，根據勾股定理可得EG的長．

(1)證明：連結OD，

∵OA=OD，F是弦AD的中點，

∴OF⊥AD，

∴∠EFG=90°，

∴∠E+∠FGE=90°，

∵BC=GC，

∴∠BGC=∠GBC，

∵∠FGE=∠BGC，

∴∠GBC=∠FGE，

∵OE=OB，

∴∠ABE=∠E，

∴∠ABE+∠GBC=90°，

∴∠ABC=90°，

∴BC是⊙O的切線；

(2)∵sinA=，OA=10，

∴OF=OA·sinA=6，

∴，

∵∠OAF=∠CAB，∠OFA=∠CBA=90°，

∴，

∴，即，

∴BC=GC=15，

∴AC==25，

∴AG=AC-GC=10，EF=OE-OF=10-6=4，

∴FG=2，

在中，∠EFG=90°，FG=2，EF=4，

∴．