Question

【題目】四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)三角形AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為_____．

Answer 1

【答案】70°

【解析】

延長(zhǎng)AB到A′使得BA′=AB，延長(zhǎng)AD到A″使得DA″=AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N，此時(shí)△AMN周長(zhǎng)最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，進(jìn)而得出∠MAN的度數(shù)．

解：延長(zhǎng)AB到A′使得BA′=AB，延長(zhǎng)AD到A″使得DA″=AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N．

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴A、A′關(guān)于BC對(duì)稱，A、A″關(guān)于CD對(duì)稱，

此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，

∵BA=BA′，MB⊥AB，

∴MA=MA′，同理：NA=NA″，

∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，

∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，

∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，

∵∠BAD=125°，

∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，

∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°．

∴∠MAN=180°﹣110°=70°，

故答案為：70°．