Question

【題目】如圖，邊長為3正方形的頂點與原點重合，點在軸，軸上。反比例函數的圖象交于點，連接，.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）過點作軸的平行線，點在直線上運動，點在軸上運動.

①若是以為直角頂點的等腰直角三角形，求的面積；

②將“①”中的“以為直角頂點的”去掉，將問題改為“若是等腰直角三角形”，的面積除了“①”中求得的結果外，還可以是______.（直接寫答案，不用寫步驟）

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或.②5或17.

【解析】

（1）設的坐標分別為，根據三角形的面積，構建方程即可解決問題．
（2）①分兩種情形畫出圖形：當點P在線段BM上，當點P在線段BM的延長線上時，分別利用全等三角形的性質求解即可．
②當點Q是等腰三角形的直角頂點時，分兩種情形分別求解即可．

解：（1））∵四邊形OACD是正方形，邊長為3，
∴點B的縱坐標為3，點E的橫坐標為3，
∵反比例函數的圖象交AC，CD于點B，E，

設的坐標分別為.

∵S△OBE=4，

可得，.

解得，，（舍）.

所以，反比例函數的解析式為.

（2））①如圖1中，設直線m交OD于M．

由（1）可知B（1，3），AB=1，BC=2，
當PC=PQ，∠CPQ=90°時，
∵∠CBP=∠PMQ=∠CPQ=90°，
∴∠CPB+∠BCP=90°，∠CPB+∠PQM=90°，
∴∠PCB=∠MPQ，∵PC=PQ，
∴△CBP≌△PMQ（AAS），
∴BC=PM=2，PB=MQ=1，
∴PC=PQ=

∴S△PCQ=

如圖2中，當PQ=PC，∠CPQ=90°，

同法可得△CBP≌△PMQ（AAS），
∴PM=BC=2，OM=PB=5，
∴PC=PQ=，

∴S△PCQ=.

所以，的面積為或.

②當點Q是等腰三角形的直角頂點時，同法可得CQ=PQ=，此時S△PCQ=5．

或CQ′=PQ′=，可得S△P′CQ′=17，

不存在點C為等腰三角形的直角頂點，
綜上所述，△CPQ的面積除了“①”中求得的結果外，還可以是5或17．
故答案為5或17．