Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交軸于A、B兩點，（點A在點B的左側）與y軸交于點C，連接AC．

（1）求點A、點B和點C的坐標；

（2）若點D為第四象限內拋物線上一動點，點D的橫坐標為m，△BCD的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BCP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）存在，，，，，

【解析】

（1）分別使，，代入求解即可；

（2）設D點坐標為，利用，化簡求值即可；

（3）設出點的坐標為（），利用兩點間的距離公式求出線段、、的長度，根據等腰三角形的性質分類討論即可求出值，從而得出點的坐標．

（1）當時，，解得，，

又∵A在B的左側，

∴，，

當時，，

∴．

（2）∵D的橫坐標為m，D在拋物線上．

∴D的縱坐標為，

∴，

∵點D在第四象限，∴，，

如圖示，連接OD，

∵，

，

．

∴

，

∴當時，；

（3）答：存在這樣的的．

理由：∵ ，兩點的坐標分別為：，，

∴對稱軸為：，

∴設點的坐標為，

根據，可得：

，

，

．

∴為等腰三角形分三種情況：

①當時，即，

解得：，

此時點的坐標為，，；

②當時，即，

解得：，

此時點的坐標為或；

③當時，即，

解得：，

此時點的坐標為；

綜上可知：在拋物線的對稱軸上存在點，使是等腰三角形，點的坐標為，，，，．