Question

【題目】已知二次函數y= x2+bx+c的圖象經過點A（﹣3，6），并與x軸交于點B（﹣1，0）和點C，與y軸交于點E，頂點為P，對稱軸與x軸交于點D
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）連接CP，△DCP是什么特殊形狀的三角形？并加以說明；
（3）點Q是第一象限的拋物線上一點，且滿足∠QEO=∠BEO，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣3，6），B（﹣1，0）代入y= x2+bx+c，

得到 ，

解得 ，

∴二次函數解析式為y= x2﹣x﹣ ．

（2）

解：結論：△DCP是等腰直角三角形．

理由：對于拋物線y= x2﹣x﹣ ，令y=0，則 x2﹣x﹣ =0，解得x=﹣1或3，

∴點C坐標（3，0），

令x=0則y=﹣ ，

∴點E坐標（0，﹣ ），

∵y= x2﹣x﹣ = （x﹣1）2﹣2，

∴頂點P坐標（1，﹣2），點D坐標（1，0），

∴CD=PD=2，

∵∠PDC=90°，

∴△PDC是等腰直角三角形．

（3）

解：如圖，連接BE、DE．

∵B（﹣1，0），D（1，0），E（0，﹣ ），

∴OB=OD，OE=OE，∠BOE=∠DOE，

∴△EOB≌△EOD，

∴∠DEO=∠BEO，

∴直線DE與拋物線的交點即為所求的點Q．

設直線DE的解析式為y=kx+b，則有 ，

解得 ，

∴直線DE的解析式為y= x﹣ ，

由 解得 或 ，

∴點Q坐標為（5，6）

【解析】（1）把A（﹣3，6），B（﹣1，0）代入y= x2+bx+c，解方程組即可解決問題．（2）結論：△DCP是等腰直角三角形．求出C、D、E三點坐標即可解決問題．（3）如圖，連接BE、DE．只要證明△EOB≌△EOD，得到∠DEO=∠BEO，所以直線DE與拋物線的交點即為所求的點Q．求出直線DE的解析式，解方程組即可．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．