Question

【題目】小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明進行了以下探索：設a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均為正整數），則有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．

這樣小明就找到了一種把a＋b的式子化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當a，b，m，n均為正整數時，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝ ，b＝ ；

（2）利用所探索的結論，找一組正整數a，b，m，n填空：4＋2 ＝（1＋ ）2；（答案不唯一）

（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均為正整數，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2），（答案不唯一）；（3）7或13．

【解析】

（1）利用完全平方公式展開得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，從而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，則計算對應的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均為正整數可先確定m、n的值，然后計算對應的a的值．

解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，

故答案為：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，則a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，

故答案為：，（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，
∵a、m、n均為正整數，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
當m=2，n=1時，a=4+3=7，
當m=1，n=2時，a=1+3×4=13，
∴a的值為7或13．