Question

【題目】如圖，∠AOB=30°，∠AOB內有一定點P，且OP=12，在OA上有一點Q，OB上有一點R，若△PQR周長最小，則最小周長是_____

Answer 1

【答案】12

【解析】

先畫出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．再根據線段垂直平分線的性質得出△PQR=EF，再根據三角形各角之間的關系判斷出△EOF的形狀即可求解．

設∠POA=θ，則∠POB=30°-θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM．

作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN．

連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．

∵OA是PE的垂直平分線，

∴EQ=QP；

同理，OB是PF的垂直平分線，

∴FR=RP，

∴△PQR的周長=EF．

∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，

∴△EOF是正三角形，

∴EF=12，

即在保持OP=12的條件下△PQR的最小周長為12．

故答案為：12