Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MN的長．

（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）最大值為

【解析】

（1）直接利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式，已知點M的橫坐標，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點的坐標，N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長；

（3）根據題（1）（2）的結論，列出SΔBNC關于m的表達式，再利用函數的性質求解SΔBNC的最大值即可．

解：（1）設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3），則：

a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；

∴拋物線的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

（2）設直線BC的解析式為：y＝kx+b，則有：，

解得，

故直線BC的解析式：y＝﹣x+3．

已知點M的橫坐標為m，MN∥y，則M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3），

∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；

（3）如圖，

∵S△BNC＝S△MNC+S△MNB＝MN（OD+DB）＝MNOB，

∴S△BNC＝（﹣m2+3m）3＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；

∴當m＝時，△BNC的面積最大，最大值為．