Question

【題目】如圖1，已知開口向下的拋物線y1=ax2﹣2ax+1過點A（m，1），與y軸交于點C，頂點為B，將拋物線y1繞點C旋轉180°后得到拋物線y2，點A，B的對應點分別為點D，E．

（1）直接寫出點A，C，D的坐標；

（2）當四邊形ABCD是矩形時，求a的值及拋物線y2的解析式；

（3）在（2）的條件下，連接DC，線段DC上的動點P從點D出發，以每秒1個單位長度的速度運動到點C停止，在點P運動的過程中，過點P作直線l⊥x軸，將矩形ABDE沿直線l折疊，設矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數關系．

Answer 1

【答案】（1）A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；（2）a=﹣，y2=x2+2x+1；（3）S=t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．

【解析】

試題分析：（1）直接將點A的坐標代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值，因為由圖象可知點A在第一象限，所以m≠0，則m=2，寫出A，C的坐標，點D與點A關于點C對稱，由此寫出點D的坐標；

（2）根據頂點坐標公式得出拋物線y1的頂點B的坐標，再由矩形對角線相等且平分得：BC=CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出拋物線y1的解析式，由旋轉的性質得出拋物線y2的解析式；

（3）分兩種情況討論：①當0≤t≤1時，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG，作輔助線構建直角三角形，求出PG和PH，利用面積公式計算；②當1＜t≤2時，S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合，這里不重合的圖形就是△GE′F，利用30°角和60°角的直角三角形的性質進行計算得出結論．

試題解析：（1）由題意得：

將A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，

解得：m1=2，m2=0（舍），

∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；

（2）如圖1，由（1）知：B（1，1﹣a），過點B作BM⊥y軸，

若四邊形ABDE為矩形，則BC=CD，

∴BM2+CM2=BC2=CD2，

∴12+（﹣a）2=22，

∴a=，

∵y1拋物線開口向下，

∴a=﹣，

∵y2由y1繞點C旋轉180°得到，則頂點E（﹣1，1﹣），

∴設y2=a（x+1）2+1﹣，則a=，

∴y2=x2+2x+1；

（3）如圖1，當0≤t≤1時，則DP=t，構建直角△BQD，

得BQ=，DQ=3，則BD=2，

∴∠BDQ=30°，

∴PH=，PG=t，

∴S=（PE+PF）×DP=t2，

如圖2，當1＜t≤2時，EG=E′G=（t﹣1），E′F=2（t﹣1），

S不重合=（t﹣1）2，

S=S1+S2﹣S不重合=+（t﹣1）﹣（t﹣1）2，

=﹣；

綜上所述：S=t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．