Question

【題目】如圖，直線與軸交于點（），與軸交于點，拋物線（）經過，兩點，為線段上一點，過點作軸交拋物線于點．

（1）當時，

①求拋物線的關系式；

②設點的橫坐標為，用含的代數式表示的長，并求當為何值時，？

（2）若長的最大值為16，試討論關于的一元二次方程的解的個數與的取值范圍的關系．

Answer 1

【答案】（1）①；②；當x=1或x=4時，；（2）當時，一元二次方程有一個解；當＞16時，一元二次方程無解；當＜16時，一元二次方程有兩個解．

【解析】

（1）①首先根據題意得出點A、B的坐標，然后代入拋物線解析式即可得出其表達式；

②首先由點A的坐標得出直線解析式，然后得出點P、Q坐標，根據平行構建方程，即可得解；

（2）首先得出，然后由PQ的最大值得出最大值，再利用二次函數圖象的性質分類討論一元二次方程的解即可.

（1）①∵m=5，

∴點A的坐標為（5，0）．

將x=0代入，得y=2．

∴點B的坐標為（0，2）．

將A（5，0），B（0，2）

代入，得

解得

∴拋物線的表達式為．

②將A(5，0)代入，解得：．

∴一次函數的表達為．

∴點P的坐標為，

又∵PQ∥y軸，

∴點Q的坐標為

∴

∵，

∴

解得：，

∴當x=1或x=4時，；

（2）由題意知：

設，

∴為的二次函數，又＜，

∵長的最大值為16，

∴最大值為16．

∴由二次函數的圖象性質可知

當時，一元二次方程有一個解；

當＞16時，一元二次方程無解；

當＜16時，一元二次方程有兩個解．.