Question

如圖1，兩個不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點O．

（1）在圖1中，你發現線段AC，BD的數量關系是

相等

，直線AC，BD相交成

90

度角．
（2）將圖1中的△OAB繞點O順時針旋轉90°角，這時（1）中的兩個結論是否成立？請做出判斷并說明理由．
（3）將圖1中的△OAB繞點O順時針旋轉一個銳角，得到圖3，這時（1）中的兩個結論是否成立？請作出判斷并說明理由．
解：（2）在圖2中，（1）中的兩個結論

成立

（是否成立）；
理由如下：延長CA交BD于點

E，∵等腰直角三角形OAB和OCD，
∴OA=OB，OC=OD，
∵AC²=AO²+CO²，BD²=OD²+OB²，
∴AC=BD；
∴△DOB≌△COA（SSS），
∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ACO+∠DBO=90°，則∠AEB=90°，即直線AC，BD相交成90°角．

；
（2）在圖3中，（1）中的兩個結論

成立

（是否成立）；
理由如下：延長CA交BD于點

F

，交OD于點

E

．

Answer 1

分析：（1）由圖可知線段AC，BD相等，且直線AC，BD相交成90°角．
（2）以上關系仍成立．延長CA交BD于點E，根據勾股定理可證得AC=BD，即可證明△AOC≌△BOD，根據兩全等三角形對應角的關系，即可證明CE⊥BD．
（3）結論仍成立．延長CA交OD于E，交BD于F，可證得△COA≌△DOB，同上即可得結論．

解答：解：（1）在圖1中，線段AC，BD的數量關系是相等，直線AC，BD相交成90度角；
故填：相等，90；

（2）（1）中結論仍成立；
證明如下：如圖延長CA交BD于點E，
∵等腰直角三角形OAB和OCD，
∴OA=OB，OC=OD，
∵AC²=AO²+CO²，BD²=OD²+OB²，
∴AC=BD；
∴△DOB≌△COA（SSS），
∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ACO+∠DBO=90°，則∠AEB=90°，即直線AC，BD相交成90°角．
故填：成立；
E，∵等腰直角三角形OAB和OCD，
∴OA=OB，OC=OD，
∵AC²=AO²+CO²，BD²=OD²+OB²，
∴AC=BD；
∴△DOB≌△COA（SSS），
∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ACO+∠DBO=90°，則∠AEB=90°，即直線AC，BD相交成90°角．

（3）結論仍成立；延長CA交BD于點F，交OD于E，
∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，
即：∠COA=∠DOB，
∵CO=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，∠ACO=∠ODB；
∵∠CEO=∠DEF，
∴∠COE=∠EFD=90°，
∴AC⊥BD，即直線AC，BD相交成90°角．
故填：F，E．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定和性質，涉及到等腰直角三角形的性質、旋轉的相關知識點，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．