Question

【題目】如圖，已知△ABC，

（1）尺規作圖：作AD平分∠BAC交BC于D點，再作AD的垂直平分線交AB于E點，交AC于F點（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）連接DE，DF證明：四邊形AEDF是菱形；

（3）若BE＝7，AF＝4，CD＝3，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）BD＝；

【解析】

（1）∠BAC的平分線AD，線段AD的垂直平分線MN，分別交AB、AC于點E、F，如圖所示；

（2）EF是線段AD的垂直平分線得出AE＝DE，AF＝DF，再由AD平分∠BAC證得∠EDA＝∠CAD，所以DE∥AC即可證明平行四邊形AEDF是菱形；

（3）由（2）AEDF是菱形，推出AE=DE=AF=DF=4，由DE∥AC，推出由此即可解決問題．

（1）作圖如下：

（2）∵根據作法可知：EF是線段AD的垂直平分線，

∴AE＝DE，AF＝DF，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴DE∥AC，

同理可得：DF∥AE，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∵AE＝DE，

∴平行四邊形AEDF是菱形；

（3）∵AEDF是菱形，

∴AE＝DE＝DF＝AF，

∵AF＝4，

∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，

∵DE∥AC，

∴

∴＝，

解得：BD＝．