Question

觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題．
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作 AD⊥BC于D（如圖1），則sinB=

AD

c

，sinC=

AD

b

，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即

b

sinB

=

c

sinC

．同理有：

c

sinC

=

a

sinA

，

a

sinA

=

b

sinB

，所以

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素．根據上述材料，完成下列各題．
（1）如圖2，△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=

 

；AC=

 

；
（2）如圖3，一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上（如圖3），求此時貨輪距燈塔A的距離AB．

Answer 1

分析：（1）利用題目總結的正弦定理，將有關數據代入求解即可；
（2）在△ABC中，分別求得BC的長和三個內角的度數，利用題目中總結的正弦定理求AC的長即可．

解答：解：（1）∠A=60°，AC=20

6

；

（2）如圖，依題意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中，

AB

sin∠ACB

=

BC

sinA

，即

AB

sin60°

=

30

sin45°

，
解之得：AB=15

6

．
答：貨輪距燈塔的距離AB=15

6

海里．

點評：本題考查了方向角的知識，更重要的是考查了同學們的閱讀理解能力，通過材料總結出學生們沒有接觸的知識，并根據此知識點解決相關的問題，是近幾年中考的高頻考點．