Question

【題目】在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結BE．

（感知）如圖①，過點A作AF⊥BE交BC于點F．易證△ABF≌△BCE．（不需要證明）

（探究）如圖②，取BE的中點M，過點M作FG⊥BE交BC于點F，交AD于點G．

（1）求證：BE=FG．

（2）連結CM，若CM=1，則FG的長為　 　．

（應用）如圖③，取BE的中點M，連結CM．過點C作CG⊥BE交AD于點G，連結EG、MG．若CM=3，則四邊形GMCE的面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2，9.

【解析】感知：利用同角的余角相等判斷出∠BAF=∠CBE，即可得出結論；

探究：（1）判斷出PG=BC，同感知的方法判斷出△PGF≌CBE，即可得出結論；

（2）利用直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半，

應用：借助感知得出結論和直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半即可得出結論．

感知：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠BAF=∠CBE，

在△ABF和△BCE中，

，

∴△ABF≌△BCE（ASA）；

探究：（1）如圖②，

過點G作GP⊥BC于P，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，

∴四邊形ABPG是矩形，

∴PG=AB，∴PG=BC，

同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，

在△PGF和△CBE中，

，

∴△PGF≌△CBE（ASA），

∴BE=FG；

（2）由（1）知，FG=BE，

連接CM，

∵∠BCE=90°，點M是BE的中點，

∴BE=2CM=2，

∴FG=2，

故答案為：2．

應用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，

∴ME=3，

同探究（1）得，CG=BE=6，

∵BE⊥CG，

∴S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9，

故答案為：9．