Question

【題目】點A在數軸上對應的數為﹣3，點B對應的數為2．

(1)如圖1點C在數軸上對應的數為x，且x是方程2x+1＝x﹣5的解，在數軸上是否存在點P使PA+PB＝BC+AB？若存在，求出點P對應的數；若不存在，說明理由；

(2)如圖2，若P點是B點右側一點，PA的中點為M，N為PB的三等分點且靠近于P點，當P在B的右側運動時，有兩個結論：①PM﹣BN的值不變；② BN的值不變，其中只有一個結論正確，請判斷正確的結論，并求出其值

Answer 1

【答案】(1)存在滿足條件的點P，對應的數為﹣和；(2)正確的結論是：PM﹣BN的值不變，且值為2.5．

【解析】

（1）先利用數軸上兩點間的距離公式確定出AB的長，然后求得方程的解，得到C表示的點，由此求得BC+AB＝8設點P在數軸上對應的數是a，分①當點P在點a的左側時（a＜﹣3）、②當點P在線段AB上時（﹣3≤a≤2）和③當點P在點B的右側時（a＞2）三種情況求點P所表示的數即可；（2）設P點所表示的數為n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根據已知條件表示出PM、BN的長，再分別代入①PM﹣BN和②PM+BN求出其值即可解答．

(1)∵點A在數軸上對應的數為﹣3，點B對應的數為2，

∴AB＝5．

解方程2x+1＝x﹣5得x＝﹣4．

所以BC＝2﹣（﹣4）＝6．

所以．

設存在點P滿足條件，且點P在數軸上對應的數為a，

①當點P在點a的左側時，a＜﹣3，

PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8，

解得a＝﹣，﹣＜﹣3滿足條件；

②當點P在線段AB上時，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，

所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不滿足條件；

③當點P在點B的右側時，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，

所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，

所以，存在滿足條件的點P，對應的數為﹣和．

(2)設P點所表示的數為n，

∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．

∵PA的中點為M，

∴PM＝PA＝．

N為PB的三等分點且靠近于P點，

∴BN＝PB＝×（n﹣2）．

∴PM﹣BN＝﹣××（n﹣2），

＝（不變）．

②PM+BN＝+××（n﹣2）＝n﹣（隨P點的變化而變化）．

∴正確的結論是：PM﹣BN的值不變，且值為2.5．