Question

【題目】（問題情境）

（1）古希臘著名數學家歐幾里得在《幾何原本》提出了射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．射影定理是數學圖形計算的重要定理．其符號語言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則：（1）AC=AB·AD；(2)BC=AB·BD；(3)CD = AD·BD；請你證明定理中的結論（1）AC = AB·AD．

（結論運用）

（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為3，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，

①求證：△BOF∽△BED；

②若，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②

【解析】

（1）證明△ACD∽△ABC，即可得證；
（2）①BC2=BOBD，BC2=BFBE，即BOBD=BFBE，即可求解；

②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解．

解：（1）證明：如圖1，∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，

而∠A=∠A，∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC = AB·AD；
（2）①證明：如圖2，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC2=BOBD，
∵CF⊥BE，
∴BC2=BFBE，
∴BOBD=BFBE，
即，而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，

∴CE=，

∴DE=BC-CE=2；
在Rt△OBC中，OB=BC=，

∵△BOF∽△BED，

∴，即，

∴OF=.