Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點在第一象限，過點A向x軸作垂線，垂足為點B，連接OA，，點M從O出發，沿y軸的正半軸以每秒2個單位長度的速度運動，點N從點B出發以每秒3個單位長度的速度向x軸負方向運動，點M與點N同時出發，設點M的運動時間為t秒，連接AM，AN，MN．

求a的值；

當時，

請探究，，之間的數量關系，并說明理由；

試判斷四邊形AMON的面積是否變化？若不變化，請求出其值；若變化，請說明理由．

當時，請求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）a=2（2）①∠ANM=∠OMN+∠BAN②詳見解析（3）t=或6

【解析】

（2）當0＜t＜2時①∠ANM=∠OMN+∠BAN．如圖2中，過N點作NH∥AB，利用平行的性質證明即可．②根據S四邊形AMON =S四邊形ABOM-S三角形ABN，計算即可；

（3）分兩種情形列出方程即可解決問題；

∵S三角形AOB=12，A（3a，2a），

∴×3a×2a=12，

∴=4，

又∵a＞0，

∴a=2．

（2）當0＜t＜2時,

①∠ANM=∠OMN+∠BAN，

如圖2中，過N點作NH∥AB，

∵AB⊥X軸,

∴AB∥OM,

∴AB∥NH∥OM,

∴∠OMN=∠MNH,

∠BAN=∠ANH,

∴∠ANM=∠MNH+∠ANH,

=∠OMN+∠BAN．

②S四邊形AMON 不變化,

理由：∵a=2,

∴A（6，4）,

∴OB=6，AB=4，OM=2t BN=3t,

ON=6-3t,

∴S四邊形AMON =S四邊形ABOM-S三角形ABN，

=（AB+OM）×OB-×BN×AB

=（4+2t）×6-×3t×4

=12+6t-6t

=12

∴四邊形AMON的面積不變,

（3）t=或6．