Question

【題目】已知是等腰直角三角形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接（如圖①）.

（1）求證：≌；

（2）已知點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接（如圖②）.

①求證: ≌；

②如圖③，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由點(diǎn)M是AC中點(diǎn)知AM＝CM，結(jié)合∠AMD＝∠CMB和DM＝BM即可得證;

(2)①由點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)及AC＝BC可得CM＝CN，結(jié)合∠C＝∠C和BC＝AC即可得證;

②過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，得∠NAC＝∠AEF，由（1）可知，則可證，可證≌，據(jù)此知，再證，又得，又因?yàn)?/span>，從而得，即可得證.

（1）∵是中點(diǎn)

∴

又∵

∴在與中

∴≌()

（2）① 是等腰直角三角形

∴

∵ 是中點(diǎn)，是中點(diǎn)

∴ ，

∴

又∵

∴在與中

∴≌()

② 過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)

∵

∴

由（1）可知≌

∴ ，

∴

∴

在和中

∴ ≌()

∴ ，，

∵ 為中點(diǎn)

∴ 為中點(diǎn)

∴ 垂直平分

∴

∴

∵

∴

∵

∴

即

∴