Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為10 cm，點E，F，G，H分別從點A，B，C，D出發，以2 cm/s的速度同時分別向點B，C，D，A運動．

(1)在運動的過程中，四邊形EFGH是何種四邊形？請說明理由．

(2)運動多少秒后，四邊形EFGH的面積為52cm2？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）運動2s或3s后，四邊形EFGH的面積為52cm2.

【解析】試題分析：

試題解析：解：(1)四邊形EFGH為正方形．理由如下：

設運動時間為t s，則AE＝BF＝CG＝DH＝2tcm，

在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

AB＝BC＝CD＝DA，∴BE＝CF＝DG＝AH.

在△AEH和△BFE中， ，

∴△AEH≌△BFE，

同理可證：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝HG，

∴四邊形EFGH為菱形．

∵△AEH≌△BFE，

∴∠AEH＝∠BFE，而∠BFE＋∠BEF＝90°，

∴∠AEH＋∠BEF＝90°，

∴∠HEF＝90°，

∴四邊形EFGH為正方形．

(2)設運動的時間為x s，則AE＝BF＝CG＝DH＝2xcm.

∵AB＝BC＝CD＝DA＝10cm，

∴BE＝CF＝DG＝AH＝(10－2x)cm.

由勾股定理得S四邊形EFGH＝EH2＝AE2＋AH2＝(2x)2＋(10－2x)2＝8x2－40x＋100.

當S四邊形EFGH＝52 cm2時，8x2－40x＋100＝52，即x2－5x＋6＝0，

解得x1＝2，x2＝3.當x＝2時，AE＝2x＝2×2＝4＜10；

當x＝3時，AE＝2x＝2×3＝6＜10.

∴x＝2或3均符合題意．故運動2s或3s后，四邊形EFGH的面積為52cm2.