Question

【題目】如圖1，拋物線l1；y=ax2+bx+c（a＜0）經過原點，與x軸的另一個交點為B（4，0），點A為頂點，且直線OA的解析式為y=x．

（1）如圖1，求拋物線l1的解析式；
（2）如圖2，將拋物線l1繞原點O旋轉180°，得到拋物線l2 ， l2與x軸交于點B′，頂點為A′，點P為拋物線l1上一動點，連接PO交l2于點Q，連接PA、PA′、QA′、QA．
請求：平行四邊形PAQA′的面積S與P點橫坐標x（2＜x≤4）之間的關系式；
（3）在（2）的條件下，如圖11﹣3，連接BA′，拋物線l1或l2上是否存在一點H，使得HB=HA′？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

過A作AD⊥OB于D點，

∵拋物線l1：y=ax2+bx+c（a＜0）過原點和B（4，0）．

頂點為A．OD= OB=2．

又∵直線OA的解析式為y=x，

∴AD=OD=2．

∴點A的坐標為（2，2），

將A、B、O的坐標代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，

，

解得 ，

∴拋物線C的解析式為y=﹣ x2+2x

（2）

解：如圖2，

，

∵AO=A′O，PO=OQ，

∴四邊形PAQA′是平行四邊形，

∴S平行四邊形PAQA′=4S△AOP．

過點P作PE⊥y軸于E交AO于F．

設P（x，﹣ x2+2x），則F（﹣ x2+2x，﹣ x2+2x），

若P點在拋物線AB段（2＜x≤4）時，S△AOP= |xP﹣xF|×|yA|= [x﹣（﹣ x2+2x）]×2= x2﹣x，

則S平行四邊形PAQA′=4S△AOP=2x2﹣4x（2＜x≤4）

（3）

解：如圖3，

，

作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），由旋轉的性質，得l2的頂點坐標A′（﹣2，﹣2），

故A′B的中點M的坐標（1，﹣1）．

作MT⊥x軸于T，在Rt△NMB中，MT⊥NB于T，

∠NMT+∠BMT=90°，∠TBM+∠BMT=90°，

∴∠NMT=∠TBM，

又∵∠NTM=∠BTM=90°，

∴△MTN∽△BTM，

= ，

MT2=TNTB，即12=（1﹣n）（4﹣1）．

∴n= ，即N點的坐標為（ ，0）．

直線l過點M（1，﹣1）、N（ ，0），

∴直線l的解析式為y=﹣3x﹣2．

解 ，得x=5 ．

在拋物線l1上存在兩點使得HB=HA′，其坐標分別為（5+ ，﹣13﹣3 ），（5﹣ ，﹣13﹣3 ）．

解 得x=﹣5 ，在拋物線l2上存在兩點使得HB=HA′，其坐標分別為（﹣5+ ，17﹣3 ），（﹣5﹣ ，17+3 ）；

綜上所述：（5+ ，﹣13﹣3 ），（5﹣ ，﹣13﹣3 ），（﹣5+ ，17﹣3 ），（﹣5﹣ ，17+3 ）

【解析】（1）根據O、B關于對稱軸對稱，可得OD的長，根據A在直線y=x上，可得A點坐標，根據待定系數法，可得答案；（2）根據平行四邊形的性質，可得S平行四邊形PAQA′=4S△AOP ， 根據平行于x軸的直線上兩點間的距離是較大的橫坐標減較小的橫坐標，可得PF的長，根據三角形的面積，可得答案；（3）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得H在線段A′B的垂直平分線上，根據解方程組，可得H點的坐標．