Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，點(diǎn)B在x軸的正半軸上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣11x+30=0的兩個(gè)根（OB＞OC）．

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，B重合），過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與y軸平行，直線(xiàn)l交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q，交邊OC或邊BC于點(diǎn)R．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線(xiàn)段QR的長(zhǎng)度為m．已知t=4時(shí)，直線(xiàn)l恰好過(guò)點(diǎn)C．當(dāng)0＜t＜3時(shí)，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)m=3.5時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵方程x2﹣11x+30=0的解為x1=5，x2=6，

∴OB=6，OC=5，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），

作AM⊥x軸于M，如圖，

∵∠OAB=90°且OA=AB，

∴△AOB為等腰直角三角形，

∴OM=BM=AM= OB=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；

（2）

解：作CN⊥x軸于N，如圖，

∵t=4時(shí)，直線(xiàn)l恰好過(guò)點(diǎn)C，

∴ON=4，

在Rt△OCN中，CN= = =3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣3），

設(shè)直線(xiàn)OC的解析式為y=kx，

把C（4，﹣3）代入得4k=﹣3，解得k=﹣ ，

∴直線(xiàn)OC的解析式為y=﹣ x，

設(shè)直線(xiàn)OA的解析式為y=ax，

把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，

∴直線(xiàn)OA的解析式為y=x，

∵P（t，0）（0＜t＜3），

∴Q（t，t），R（t，﹣ t），

∴QR=t﹣（﹣ t）= t，

即m= t（0＜t＜3）；

（3）

解：設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=px+q，

把A（3，3），B（6，0）代入得 ，解得 ，

∴直線(xiàn)AB的解析式為y=﹣x+6，

同理可得直線(xiàn)BC的解析式為y= x﹣9，

當(dāng)0＜t＜3時(shí)，m= t，若m=3.5，則 t=3.5，解得t=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；

當(dāng)3≤t＜4時(shí)，Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），

∴m=﹣t+6﹣（﹣ t）=﹣ t+6，若m=3.5，則﹣ t+6=3.5，解得t=10（不合題意舍去）；

當(dāng)4≤t＜6時(shí)，Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），

∴m=﹣t+6﹣（ t﹣9）=﹣ t+15，若m=3.5，則﹣ t+15=3.5，解得t= ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0），

綜上所述，滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（ ，0）．

【解析】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線(xiàn)段的長(zhǎng)；學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．（1）先利用因式分解法解方程x2﹣11x+30=0可得到OB=6，OC=5，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），作AM⊥x軸于M，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得OM=BM=AM= OB=3，于是可寫(xiě)出B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）作CN⊥x軸于N，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出CN得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣3），再利用待定系數(shù)法分別求出直線(xiàn)OC的解析式為y=﹣ x，直線(xiàn)OA的解析式為y=x，則根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到Q（t，t），R（t，﹣ t），所以QR=t﹣（﹣ t），從而得到m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB的解析式為y=﹣x+6，直線(xiàn)BC的解析式為y= x﹣9，然后分類(lèi)討論：當(dāng)0＜t＜3時(shí)，利用 t=3.5可求出t得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
當(dāng)3≤t＜4時(shí)，則Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），于是得到﹣t+6﹣（﹣ t）=3.5，解得t=10，不滿(mǎn)足t的范圍舍去；當(dāng)4≤t＜6時(shí)，則Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），所以﹣t+6﹣（ t﹣9）=3.5，然后解方程求出t得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達(dá)式，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法即可以解答此題．