Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC，直線y＝﹣x與該拋物線交于E，F兩點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）P是直線EF下方拋物線上的一個動點，作PH⊥EF于點H，求PH的最大值．

（3）以點C為圓心，1為半徑作圓，⊙C上是否存在點D，使得△BCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出D點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）點D的坐標為（，）或（，）或（1，﹣3）或（，）．

【解析】

（1）令x＝0，則y＝﹣3a，可知點C（0，﹣3a），繼而知點A的坐標，根據拋物線y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于A、B兩點可知，ax2+2ax﹣3a＝0,解方程可得點A、B的坐標，繼而求出a的值及拋物線解析式；

（2）過點P作PM⊥y軸交直線EF于點M，設點P，點M，則PH＝＝，將表達式配成頂點式即可得出答案；

（3）分∠BCD＝90°、∠CDB＝90°兩種情況，作出圖形分別求解即可．

（1）令x＝0，則y＝﹣3a，可知點C（0，﹣3a），

∵OA＝OC

∴點A（﹣3a，0），

令，即

解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴點A（﹣3，0），B（1，0）

∴﹣3a＝﹣3

∴a＝1

∴拋物線的解析式y＝x2+2x﹣3

（2）過點P作PN⊥y軸交直線EF于點N，

∵直線EF的解析式為y＝﹣x，

∴∠NOA＝45°，

∴∠PNH＝45°

設點P，點N，

∴PH＝＝＝，

當x＝時，PH的值最大為，

（3）當∠BCD＝90°時，如圖2左側圖所示，

當點D在BC的右側時，

過點D作DM⊥y軸于點M，則CD＝OB＝1，OC＝3，

tan∠BCO＝＝tan∠CDM＝，

則，，

∴xD＝CD＝，同理yD＝，

故點D（，）；

同理當點D在BC的左側時，點D的坐標（，）；

當∠CDB＝90°時，如圖2右側圖所示，

當點D在BC的右側時，

CD＝OB＝1，則點D（1，﹣3），

當點D在BC的左側時，由點的對稱性，同理可得：點D（，）；

綜上所述，點D的坐標為（，）或（，）或（1，﹣3）或（，）．