Question

【題目】在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,對角線AC平分∠BAD

(1)如圖1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,易證AD+BA＝AC

(2)如圖2,若將(1)中的條件“∠B=90°”去掉,(1)中的結論是否成立?請說明理由.

(3)如圖3,若∠DAB=90°,探究邊AD、AB與對角線AC的數量關系并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析；(3)AC=AD+AB,AD+AB=AC.

【解析】

（1）結論：AC=AD+AB，只要證明AD=AC，AB= AC即可解決問題；

（2）（1）中的結論成立．以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，只要證明△DAC≌△BEC即可解決問題；

（3）結論：AD+AB= AC．過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，只要證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解決問題；

(1)AC=AD+AB.

理由如下：如圖1中，

在四邊形ABCD中,∠D+∠B=180°,∠B=90°，

∴∠D=90°，

∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∵∠B=90°，

∴AB= AC,同理AD=AC.

∴AC=AD+AB.

(2)(1)中的結論成立,理由如下：以C為頂點,AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，

∵∠BAC=60°，

∴△AEC為等邊三角形，

∴AC=AE=CE，

∵∠D+∠B=180°,∠DAB=120°，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCA=∠BCE，

∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，

∴△DAC≌△BEC，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB.

(3)結論：AD+AB=AC.理由如下：

過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°，

∴DCB=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠DCA=∠BCE，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=45°，

∴∠E=45°.

∴AC=CE.

又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，

∴△CDA≌△CBE，

∴AD=BE，

∴AD+AB=AE.

在Rt△ACE中,∠CAB=45°，

∴AE= =AC，

∴AD+AB=AC.