Question

【題目】 如圖，AB是⊙O的直徑，點E為線段OB上一點（不與O、B重合），作EC⊥OB，交⊙O于點C，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，作AF⊥PC于點F，連接CB．

（1）求證：AC平分∠FAB；

（2）求證：BC2=CECP；

（3）若，⊙O的面積為12π，求PF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）7

【解析】

（1）根據切線的性質得到OC⊥CP，證明OC∥AF，根據平行線的性質、等腰三角形的性質證明；

（2）根據圓周角定理得到∠ACB=90°，證明△CEB∽△CBP，根據相似三角形的性質證明結論；

（3）設CE=3x，根據題意用x表示出CP、CB，根據相似三角形的性質列出方程，解方程求出x，根據角平分線的性質得到CF=CE，結合圖形計算，得到答案．

（1）證明：∵CP是⊙O的切線，

∴OC⊥CP，

∵AF⊥PC，

∴OC∥AF，

∴∠FAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠FAC=∠OAC，即AC平分∠FAB；

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，即∠CAB+∠ABC=90°，

∵EC⊥OB，

∴∠ECB+∠ABC=90°，

∴∠CAB=∠ECB，

∵CP是⊙O的切線，

∴∠CAB=∠BCP，

∴∠ECB=∠BCP，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CBD=90°，

∴∠CEB=∠CBP，又∠ECB=∠BCP，

∴△CEB∽△CBP，

∴=，即BC2=CECP；

（3）解：設CE=3x，

∵，

∴CP=4x，

∵BC2=CECP，

∴BC=2x，

由勾股定理得，BE==x，

∵⊙O的面積為12π，

∴⊙O的半徑為2，即AB=4，

∵∠ACB=90°，CE⊥AB，

∴BC2=BEAB，即（2x）2=x4，

解得，x=1，

則CE=3，CP=4，

∵AC平分∠FAB，AF⊥PC，EC⊥OB，

∴CF=CE=3，

∴PF=CF+CP=7．