Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）兩點(diǎn)．

（1）求出拋物線的解析式；
（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作PM∥OA，交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN ， 求出 的值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（1，3），B（4，0）在拋物線y=mx2+nx的圖象上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x；

（2）解：存在三個(gè)點(diǎn)滿足題意，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵A（1，3），

∴D坐標(biāo)為（1，0）；

當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，設(shè)D（0，d），則AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+32=18，

∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，

∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=18，解得d=4，或d=﹣1

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣1）；

綜上可知存在滿足條件的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，0）或（0，4）或（0，﹣1）；

（3）解：如圖2，過(guò)P作PF⊥CM于點(diǎn)F，

∵PM∥OA，

∴Rt△ADO∽R(shí)t△MFP，

∴ = =3，

∴MF=3PF，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，

∴tan∠ABD=1，

∴∠ABD=45°，設(shè)BC=a，則CN=a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=45°，

∴tan∠PNF= =1，

∴FN=PF，

∴MN=MF+FN=4PF，

∵S△BCN=2S△PMN，

∴ a2=2× ×4PF2，

∴a=2 PF，

∴NC=a=2 PF，

∴ = = ，

∴MN= NC= a，

∴MC=MN+NC=（ +1）a，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4﹣a，（ +1）a），

又M點(diǎn)在拋物線上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（ +1）a，

解得a=3﹣ 或a=0（舍去），

OC=4﹣a= +1，MC=3+2 ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ +1，3+2 ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法來(lái)求解；
（2）分兩種情況來(lái)求解：點(diǎn)D在x軸上和點(diǎn)D在y軸上.當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，易求D點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，設(shè)D（0，d），，在Rt△ABD中利用勾股定理可求得d的值，課的答案；
（3）過(guò)P作PF⊥CM于點(diǎn)F，易證Rt△ADO∽R(shí)t△MFP，從而得到MF=3PF，在Rt△ABD中和在Rt△PFN中利用三角函數(shù)得出MN=4PF，設(shè)BC=a，則CN=a，利用△BCN和△PMN之間的面積關(guān)系，進(jìn)而表示出M的坐標(biāo)，再根據(jù)M點(diǎn)在拋物線上求出a的值，進(jìn)而得到答案.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．