Question

【題目】已知：拋物線y=x2+（b﹣1）x﹣5．
（1）寫出拋物線的開口方向和它與y軸交點的坐標；
（2）若拋物線的對稱軸為直線x=1，求b的值，并畫出拋物線的草圖（不必列表）；
（3）如圖，若b＞3，過拋物線上一點P（﹣1，c）作直線PA⊥y軸，垂足為A，交拋物線于另一點B，且BP=2PA，求這條拋物線所對應的二次函數解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=1＞0，

∴拋物線開口向上，

當x=0時，y=02+（b﹣1）×0﹣5=﹣5，

∴它與y軸的交點坐標為（0，﹣5）

（2）

解：拋物線的對稱軸為x=1，

∴﹣ =﹣ =1，

解得b=﹣1，

故拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣5；

圖象如下：

（3）

解：∵b＞3，

∴拋物線的對稱軸x=﹣ =﹣ ＜﹣1，

∴對稱軸在點P的左側，

∵直線PA⊥y軸，且P（﹣1，c），BP=2PA，

∴點B的坐標為（﹣3，c），

把點B（﹣3，c）、P（﹣1，c）代入拋物線解析式y=x2+（b﹣1）x﹣5得，

，

解得 ，

∴拋物線所對應的二次函數解析式為y=x2+4x﹣5；

[或：∵點B（﹣3，c）、P（﹣1，c），

∴BP的中點（﹣2，c）在拋物線的對稱軸上，

∴﹣ =﹣ =﹣2，解得b=5．]

【解析】（1）根據a值大于0，判斷拋物線的開口向上，令x=0求出函數值y，就是拋物線與y軸的交點坐標；（2）根據對稱軸解析式列式求出b的值，從而得到拋物線解析式，再根據拋物線與坐標軸的交點與頂點坐標作出草圖即可；（3）先根據b＞3判斷出點P在對稱軸的左側，然后根據BP=2PA求出點B的坐標，然后把點P、B的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求出b、c的值，即可寫出該拋物線對應的二次函數解析式．[或者根據點BP的中點在拋物線的對稱軸上，利用對稱軸解析式列式進行計算求解b的值．]
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．