Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點坐標為，點是軸正半軸上一點，且，點是軸上位于點右側的一個動點，設點的坐標為.

（1）點的坐標為___________；

（2）當是等腰三角形時，求點的坐標；

（3）如圖2，過點作交線段于點，連接，若點關于直線的對稱點為，當點恰好落在直線上時，_____________.（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）

【解析】

（1）根據勾股定理可以求出AO的長，則可得出A的坐標；

（2）分三種情況討論等腰三角形的情況，得出點P的坐標；

（3）根據，點在直線上，得到，利用點，關于直線對稱點，根據對稱性，可證，可得，，

設，則有，根據勾股定理，有：

解之即可．

解：（1）∵點坐標為，點是軸正半軸上一點，且，

∴是直角三角形，根據勾股定理有：

，

∴點的坐標為；

（2）∵是等腰三角形，

當時，如圖一所示：

∴，

∴點的坐標是；

當時，如圖二所示：

∴

∴點的坐標是；

當時，如圖三所示：

設，則有

∴根據勾股定理有：

即：

解之得：

∴點的坐標是；

（3）當是鈍角三角形時，點不存在；

當是銳角三角形時，如圖四示：

連接，

∵，點在直線上，

∴和是直角三角形，

∴，

∵點，關于直線對稱點，

根據對稱性，有，

∴，

∴

則有：

∴是等腰三角形，則有，

∴，

設，則有，

根據勾股定理，有：

即：

解之得：