Question

【題目】某公路隧道橫截面為拋物線(xiàn)，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米. 現(xiàn)以O點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)M及拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求這條拋物線(xiàn)的解析式；

（3）若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD- DC- CB，使C、D點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1） M（12，0） ，P（6，6）；

（2）；

（3）當(dāng)m=3時(shí)，AD+DC+CB有最大值為15米.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)所建坐標(biāo)系易求M、P的坐標(biāo)；

（2）可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式，把O點(diǎn)（或M點(diǎn)）坐標(biāo)代入求待定系數(shù)求出解析式；

（3）總長(zhǎng)由三部分組成，根據(jù)它們之間的關(guān)系可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），用含m的式子表示三段的長(zhǎng)，再求其和的表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解．

試題解析：（1）M（12，0），P（6，6）．

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：

y=a（x-6）2+6

∵拋物線(xiàn)y=a（x-6）2+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）

∴0=a（0-6）2+6，即a=-

∴拋物線(xiàn)解析式為：y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x．

設(shè)A（m，0），則B（12-m，0），C（12-m，-m2+2m），D（m，-m2+2m）．

∴“支撐架”總長(zhǎng)AD+DC+CB=（-m2+2m）+（12-2m）+（-m2+2m）

=-m2+2m+12

=-（m-3）2+15．

當(dāng)m=3時(shí)，有最大值為15.

故這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是15.