Question

【題目】定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，當∠BAC+∠DAE=180° 時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”.

（1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，AM是“頂心距”。

①如圖2，當∠BAC=90°時，AM與DE之間的數量關系為AM=　 　DE；

②如圖3，當∠BAC=120°，ED=6時，AM的長為　 　。

（2）猜想論證：

在圖1中，當∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數量關系，并給予證明。

（3）拓展應用

如圖4，在四邊形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CA=，在四邊ABCD的內部找到點P，使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”。并回答下列問題。

①請在圖中標出點P的位置，并描述出該點的位置為 ；

②直接寫出△PBC的“頂心距”的長為 。

Answer 1

【答案】（1）①；②3（2）AM=DE（3）

【解析】

（1）①根據全等三角形的判定與性質推出△ABC與△DAE全等，再根據等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半即可得出答案；②根據題意推出△ADE為等邊三角形，推出AB的長度為6，即可得出AM (2) 過點A作AN⊥ED于N,證出∠DAN=∠DAE，ND =DE和∠CAM=∠CAB，再證∠DAN+∠CAM=90°，∠DAN=∠C，推出

△AND≌△AMC，即可得出答案.

（1）①；②3

（2）猜想：結論AM=DE.

證明：過點A作AN⊥ED于N

∵AE=AD，AN⊥ED

∴∠DAN=∠DAE，ND =DE

同理可得：∠CAM=∠CAB，

∵∠DAE+∠CAB=180°，

∴∠DAN+∠CAM=90°，

∵∠CAM+∠C=90°

∴∠DAN=∠C，

∵AM⊥BC∴∠AMC=∠AND=90°

在△AND與△AMC中，

∴△AND≌△AMC，

∴ND=AM

∴AM=DE.

（3）①圖略；線段AC的中點或（線段AD的垂直平分線與線段AC的交點）或（線段BC的垂直平分線與線段AC的交點）等方法正確均可以給分；

②

PE為所求，由題意知，BC=,AB=,

所以PE=AB=