Question

【題目】我們規定：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作“完美四邊形”．

（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是 （請填序號）；

（2）在“完美”四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，連接AC．

①如圖1，求證：AC平分∠BCD；

小明通過觀察、實驗，提出以下兩種想法，證明AC平分∠BCD：

想法一：通過∠B+∠D=180°，可延長CB到E，使BE=CD，通過證明△AEB≌△ACD，從而可證AC平分∠BCD；

想法二：通過AB=AD，可將△ACD繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△AEB，可證C,B,E三點在條直線上，從而可證AC平分∠BCD.

請你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分∠BCD；

②如圖2，當∠BAD=90°，用等式表示線段AC,BC,CD之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②BC+CD=AC．

【解析】

（1）根據“完美四邊形”的定義可以判斷出正方形是完美四邊形；

（2）①想法一：通過∠B+∠D=180°，可延長CB到E，使BE=CD，通過證明△AEB≌△ACD，從而可證AC平分∠BCD；

想法二：通過AB=AD，可將△ACD繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△AEB，可證C,B,E三點在條直線上，從而可證AC平分∠BCD；

②②延長CB使BE=CD，連接AE，可得△ACE為等腰三角形，因為∠BAD =90°得∠EAC=90°，由勾股定理可得AC,BC,CD之間的數量關系.

（1）（1）根據“鄰等對補四邊形”的定義，正方形一定是“鄰等對補四邊形”．

故答案為：④．

（2）想法一：延長CB使BE=CD，連接AE

∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°，

∴∠ADC=∠ABE．

∵AD=AB，

∴△ADC≌△ABE．

∴∠ACD=∠AEB;

AC=AE．

∴∠ACB=∠AEB．

∴∠ACD=∠ACB．

即AC平分∠BCD

想法二：將△ACD繞點A順時針旋轉，使AD邊與AB邊重合，得到△ABE，

∴△ADC≌△ABE．

∴∠ADC=∠ABE;

∠ACD=∠AEB;

AC=AE．

∵∠ADC+∠ABC=180°，

∴∠ABE+∠ABC=180°．

∴點C,B,E在一條直線上．

∵AC=AE，

∴∠ACB=∠AEB．

∴∠ACD=∠ACB．

即AC平分∠BCD．

②延長CB使BE=CD，連接AE，

由①得△ADC≌△ABE

∴AC=AE

∴△ACE為等腰三角形．

∵∠BAD =90°，

∴∠EAC=90°．

∴．

∴ ．

∴BC+CD=AC．