Question

【題目】已知在邊長為4的菱形ABCD中，∠EBF=∠A=60°，

（1）如圖①，當點E、F分別在線段AD、DC上，

①判斷△EBF的形狀，并說明理由；

②若四邊形ABFD的面積為7，求DE的長；

（2）如圖②，當點E、F分別在線段AD、DC的延長線上，BE與DC交于點O，設△BOF的面積為S1，△EOD的面積為S2，則S1-S2的值是否為定值，如果是，請求出定值：如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△EBF是等邊三角形，見解析；②DE=1；（2）S1-S2的值是定值，S1-S2=4．

【解析】

（1）①△EBF是等邊三角形．連接BD，證明△ABE≌△DBF（ASA）即可解決問題．

②如圖1中，作BH⊥AD于H．求出△ABE的面積，利用三角形的面積公式求出AE即可解決問題．

（2）如圖2中，結論：S1-S2的值是定值．想辦法證明：S1-S2=S△BCD即可．

解：（1）①△EBF是等邊三角形．理由如下：

如圖1中，連接BD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∵∠ADB=60°，

∴△ADB是等邊三角形，△BDC是等邊三角形，

∴AB=BD，∠ABD=∠A=∠BDC=60°，

∵∠ABD=∠EBF=60°，

∴∠ABE=∠DBF，

在△ABE和△DBF中，，

∴△ABE≌△DBF（ASA），

∴BE=BF，

∵∠EBF=60°，

∴△EBF是等邊三角形．

②如圖1中，作BH⊥AD于H．

在Rt△ABH中，BH=2，

∴S△ABD=ADBH=4，

∵S四邊形ABFD=7，

∴S△BDF=S△ABE=3，

∴=3，

∴AE=3，

∴DE=AD=AE=1．

（2）如圖2中，結論：S1-S2的值是定值．

理由：∵△BDC，△EBF都是等邊三角形，

∴BD=BC，∠DBC=∠EBF=60°，BE=BF，

∴∠DBE=∠CBF，

∴△DBE≌△CBF（SAS），

∴S△BDE=S△BCF，

∴S1-S2=S△BDE+S△BOC-S△DOE=S△DOE+S△BOD+S△BOC-S△DOE=S△BCD=×42=4．

故S1-S2的值是定值．