Question

【題目】已知Rt△ABC，∠BAC=90°，點D是BC中點，AD=AC，BC=2，過A，D兩點作⊙O，交AB于點E

（1）求弦AD的長；

（2）如圖1，當圓心O在AB上，且點M是圓O下方的半圓上的一動點，連接DM交AB于點N，求當△DEM是等腰三角形時，求ON的長；

（3）如圖2，當圓心O不在AB上且動圓⊙O與DB相交于點Q時，過D作DH⊥AB（垂足為H）并交⊙O于點P，問：當⊙O變動時DP-DQ的值變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=；（2）ON等于或-；（3）當⊙O變動時DP-DQ的值不變，DP-DQ=，見解析.

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長；

（2）連DE、ME，易得當ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，根據垂徑定理得推論得OE⊥DM，易得到△ADC為等邊三角形，得∠CAD=60°，則∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根據含30°的直角三角形三邊的關系得DN=AD=，ON=DN=；當MD=ME，DE為底邊，作DH⊥AE，由于AD=，∠DAE=30°，得到DH=，∠DEA=60°，DE=1，于是OE=DE=1，OH=，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，則∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根據等腰直角三角形的性質得到NH=DH=，于是得到結論；

（3）連AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，則∠PDB=∠C=60°，再根據圓周角定理得∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，則∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易證得△AQC≌△APD，得到DP=CQ，則DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC為等邊三角形，CD=AD=，即可得到DP-DQ的值．

解：（1）∵∠BAC=90°，點D是BC中點，BC=2，

∴AD=BC=；

（2）連DE、ME，如圖，∵DM＞DE，

當ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，

∴OE⊥DM，

又∵AD=AC，

∴△ADC為等邊三角形，

∴∠CAD=60°，

∴∠DAO=30°，

∴∠DON=60°，

在Rt△ADN中，DN=AD=，

在Rt△ODN中，ON=DN=，

∴當ON等于1時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形；

當MD=ME，DE為底邊，如圖3，作DH⊥AE，

∵AD=，∠DAE=30°，

∴DH=，∠DEA=60°，DE=1，

∴△ODE為等邊三角形，

∴OE=DE=1，OH=，

∵∠M=∠DAE=30°，

而MD=ME，

∴∠MDE=75°，

∴∠ADM=90°-75°=15°，

∴∠DNO=45°，

∴△NDH為等腰直角三角形，

∴NH=DH=，

∴ON=-2；

綜上所述，當三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形時，ON等于或-；

（3）當⊙O變動時DP-DQ的值不變，DP-DQ=，

理由如下：連AP、AQ，如圖2，

∵∠C=∠CAD=60°，

而DP⊥AB，

∴AC∥DP，

∴∠PDB=∠C=60°，

又∵∠PAQ=∠PDB，

∴∠PAQ=60°，

∴∠CAQ=∠PAD，

∵AC=AD，∠AQC=∠P，

∴△AQC≌△APD（AAS），

∴DP=CQ，

∴DP-DQ=CQ-DQ=CD=．