Question

【題目】以四邊形ABCD的邊AB、AD為底邊分別作等腰三角形ABF和ADE．

（1）當四邊形ABCD為正方形時（如圖①），以邊AB、AD為斜邊分別向外側作等腰直角三角形ABF和ADE，連接EB、FD，線段BE與DF的數量關系是：= ；

（2）當四邊形ABCD為矩形時（如圖②），以邊AB、AD為斜邊分別向矩形內側、外側作等腰直角三角形ABF和ADE，連接EF、BD，線段EF與BD的數量關系是：= ，請填空并說明理由；

（3）當四邊形ABCD為平行四邊形時，以邊AB、AD為底邊分別向平行四邊形內側、外側作等腰三角形ABF和ADE，且△EAD與△FBA的頂角∠AED=∠AFB=，連接EF、BD，交點為G．請用表示出∠EGD，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）根據△ABF和△ ADE是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，

求得△EBF≌△DEF，得到BE=DF;

（2）根據△ABF和△ ADE是等腰直角三角形，四邊形ABCD是長方形，

求得△EAF～△DAB，得到;

（3）根據等腰三角形ABF和ADE的頂角∠AED=∠AFB=，∠EAD=∠EDA=∠FAB=∠FBA=，所以△EAD～△FAB，再求得△EAF～△DAB和△PAE～△PGD，最后求得∠EGD=∠EAD=.

（1）1；…………………………………………3’

（2）；…………………………………………4’

證明：∵△ABF和△ADE是等腰直角三角形

∴，∠EAD=45°，∠BAF=45°，…………………………………………5’

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD=900，

∴∠FAD=∠BAD-∠BAF=45°，

∴∠EAF=∠FAD+∠EAD=90°，

∴∠EAF=∠BAD=90°…………………………………………6’

∴△EAF～△DAB…………………………………………7’

∴…………………………………………8’

（3）設EF與AD的交點為P點

∵等腰三角形ABF和ADE的頂角∠AED=∠AFB=

∴∠EAD=∠EDA=∠FAB=∠FBA=

∴△EAD～△FAB…………………………………………9’

∴

∴

∵∠EAD+∠DAF=∠FAB+∠DAF

即：∠EAF=∠DAB

∴△EAF～△DAB…………………………………………10’

∴∠AEF=∠ADB

又∵∠APE=∠GPD

∴△PAE～△PGD…………………………………………11’

∴∠EGD=∠EAD=…………………………………………12’