Question

【題目】如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G．

（1）求證：點F是BD中點；

（2）求證：CG是⊙O的切線；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）⊙O半徑為2．

【解析】

（1）由已知中CH⊥AB于點H，DB為圓的切線，我們易得到△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，進而根據三角形相似，對應邊成比例，根據E為CH中點，得到點F是BD中點；

（2）連接CB、OC，根據圓周定理的推論，我們易得在直角三角形BCD中CF=BF，進而求出∠OCF=90°，由切線的判定定理，得到CG是⊙O的切線；

（3）由由FC=FB=FE，易得FA=FG，且AB=BG，由切割線定理及勾股定理，我們可以求出AB的長，即圓的直徑，進而得到圓的半徑．

（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，

∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，

∴，

∵HE=EC，

∴BF=FD，即點F是BD中點；

（2）連接CB、OC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵F是BD中點，

∴∠BCF=∠CBF=90°﹣∠CBA=∠CAB=∠ACO，

∴∠OCF=90°，

又∵OC為圓O半徑，

∴CG是⊙O的切線，

（3）∵FC=FB=FE，

∴∠FCE=∠FEC，

∵∠FEC=∠AEH，

∴∠FCE=∠AEH，

∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，

∴∠G=∠FAB，

∴FA=FG，

∵FB⊥AG，

∴AB=BG，

∵（2+FG）2=BG×AG=2BG2①

BG2=FG2﹣BF2②

由①、②得：FG2﹣4FG﹣12=0，

∴FG1=6，FG2=﹣2（舍去），

∴AB=BG=，

∴⊙O半徑為2．