Question

【題目】定義：若拋物線與拋物線的開口大小相同，方向相反，且拋物線經過的頂點，我們稱拋物線為的“友好拋物線”．

（1）若的表達式為，求的“友好拋物線”的表達式；

（2）已知拋物線為的“友好拋物線”．求證：拋物線也是的“友好拋物線”；

（3）平面上有點，，拋物線為的“友好拋物線”，且拋物線的頂點在第一象限，縱坐標為2，當拋物線與線段沒有公共點時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的“友好拋物線”為：；（2）見解析；（3）或.

【解析】

（1）設的“友好拋物線”的表達式為：，根據可得其頂點坐標，代入可得的值，進而得出的“友好拋物線”；

（2）先求出拋物線和的頂點坐標，根據過的頂點，得出，進而得到拋物線經過的頂點，再根據與的開口大小相同，方向相反，即可得出拋物線也是的“友好拋物線”；

（3）根據“友好拋物線”的定義，得到，進而得到的頂點為．

根據拋物線的頂點在第一象限，縱坐標為2，可得．

再根據經過點，得到．根據經過點，得到．

進而得出拋物線與線段沒有公共點時，的取值范圍．

解：（1）依題意，可設的“友好拋物線”的表達式為：，

∵，

∴的頂點為．

∵過點，

∴，即．

∴的“友好拋物線”為：．

（2）的頂點為，

的頂點為，

∵為的“友好拋物線”，

∴．

∵過的頂點，

∴．

化簡得：．

把代入，得

．

∴拋物線經過的頂點．

又∵與的開口大小相同，方向相反，

∴拋物線也是的“友好拋物線”．

（3）∵拋物線為的“友好拋物線”，

∴．

∴的頂點為．

∵拋物線的頂點在第一象限，縱坐標為2，

∴，即．

當經過點時，，

∴．

當經過點時，，

∴．

由此可知：時，拋物線與線段有公共點，

∴拋物線與線段沒有公共點時，或．