Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是3，點P是直線BC上一點，連接PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，在直線BA上取點F，使BF=BP，且點F與點E在BC同側，連接EF，CF．

（1）如圖①，當點P在CB延長線上時，求證：四邊形PCFE是平行四邊形；

（2）如圖②，當點P在線段BC上時，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說明理由；

（3）在（2）的條件下，四邊形PCFE的面積是否有最大值？若有，請求出面積的最大值及此時BP長；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）有，當BP=時，最大值為

【解析】

（1）由正方形的性質可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質就可以得出結論．

（2）由正方形的性質可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質就可以得出結論．

（3）設BP=x，則PC=3﹣x 平行四邊形PEFC的面積為S，由平行四邊形的面積公式就可以求出其解析式，再根據二次函數的性質就可以求出其最大值．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°

∵在△PBA和△FBC中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，

∴△PBA≌△FBC（SAS）．∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．

∵PA=PE，∴PE=FC．

∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．

∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°．

∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形．

（2）結論：四邊形EPCF是平行四邊形，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°．

∵在△PBA和△FCB中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，

∴△PBA≌△FBC（SAS）．∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．

∵PA=PE，∴PE=FC．

∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB．

∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形．

（3）有．

設BP=x，則PC=3﹣x ，平行四邊形PEFC的面積為S，

．

∵a=﹣1＜0，∴拋物線的開口向下，

∴當x=時，S最大=．

∴當BP=時，四邊形PCFE的面積最大，最大值為．