Question

【題目】綜合與實踐﹣﹣旋轉中的數學

問題背景：在一次綜合實踐活動課上，同學們以兩個矩形為對象，研究相似矩形旋轉中的問題：已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，它們各自對角線的交點重合于點O，連接AA′，CC′．請你幫他們解決下列問題：

觀察發現：（1）如圖1，若A′B′∥AB，則AA′與CC′的數量關系是______；

操作探究：（2）將圖1中的矩形ABCD保持不動，矩形A′B′C′D′繞點O逆時針旋轉角度α（0°＜α≤90°），如圖2，在矩形A′B′C′D′旋轉的過程中，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

操作計算：（3）如圖3，在（2）的條件下，當矩形A′B′C′D′繞點O旋轉至AA′⊥A′D′時，若AB=6，BC=8，A′B′=3，求AA′的長．

Answer 1

【答案】AA′=CC′

【解析】

（1）連接AC、A′C′，根據題意得到點A、A′、C′、C在同一條直線上，根據矩形的性質得到OA=OC，OA′=OC′，得到答案；

（2）連接AC、A′C′，證明△A′OA≌△C′OC，根據全等三角形的性質證明；

（3）連接AC，過C作CE⊥AB′，交AB′的延長線于E，根據相似多邊形的性質求出B′C′，根據勾股定理計算即可．

（1）AA′=CC′，

理由如下：連接AC、A′C′，

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，∠CAB=∠C′A′B′，

∵A′B′∥AB，

∴點A、A′、C′、C在同一條直線上，

由矩形的性質可知，OA=OC，OA′=OC′，

∴AA′=CC′，

故答案為：AA′=CC′；

（2）（1）中的結論還成立，AA′=CC′，

理由如下：連接AC、A′C′，則AC、A′C′都經過點O，

由旋轉的性質可知，∠A′OA=∠C′OC，

∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′都是矩形，

∴OA=OC，OA′=OC′，

在△A′OA和△C′OC中，

，

∴△A′OA≌△C′OC，

∴AA′=CC′；

（3）連接AC，過C作CE⊥AB′，交AB′的延長線于E，

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，

∴，即，

解得，B′C′=4，

∵∠EB′C=∠B′C′C=∠E=90°，

∴四邊形B′ECC′為矩形，

∴EC=B′C′=4，

在Rt△ABC中，AC==10，

在Rt△AEC中，AE==2，

∴AA′+B′E=2﹣3，又AA′=CC′=B′E，

∴AA′=．