Question

（2012•廣陵區二模）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CAB=2∠CBF．
（1）試判斷直線BF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=6，BF=8，求tan∠CBF．

Answer 1

分析：（1）連接AE．通過AB⊥BF，點B在⊙O上可以推知BF為⊙O的切線；
（2）作輔助線CG（過點C作CG⊥BF于點G）構建平行線AB∥CG．由“平行線截線段成比例”知

FG

BF

=

FC

AF

=

4

10

=

2

5

，從而求得FG的值；然后根據圖形中相關線段間的和差關系求得直角三角形CBG的兩直角邊BG、CG的長度；最后由銳角三角函數的定義來求tan∠CBF的值．

解答：解：（1）BF為⊙O的切線．
證明：連接AE．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的兩個銳角互余）；
又∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，
∵OB是半徑，
∴BF為⊙O的切線；

（2）過點C作CG⊥BF于點G．
在Rt△ABF中，AB=6，BF=8，
∴AC=10（勾股定理）；
又∵AC=AB=6
∴CF=4；
∵CG⊥BF，AB⊥BF，
∴CG∥AB，
∴

FG

BF

=

FC

AF

=

4

10

=

2

5

，（平行線截線段成比例），
∴FG=

16

5

，
由勾股定理得：CG=

CF2-FG2

=

12

5

，
∴BG=BF-FG=8-

16

5

=

24

5

，
在Rt△BCG中，tan∠CBF=

CG

BG

=

1

2

．

點評：本題考查了切線的判定與性質、勾股定理、平行線截線段成比例、直角所對的圓周角是直角等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．